Ответы на билеты «Вопросы к экзамену. Основы высшей математики 1. Множества»,
Основы высшей математики в Казани

Вопросы к экзамену. Основы высшей математики 1. Множества. Операции над множествами. Ограниченные множества. Точные грани множеств. 2. Метод математической индукции. Бином Ньютона. 3. Комплексные числа, их алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Корень n-ой степени. Решение уравнений. 4. Основные элементарные функции и их графики: квадратичная, степенная, показательная (формулы, свойства, графики). 5. Основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс (формулы, свойства, графики). Основные тригонометрические соотношения (ОТТ, двойного угла). 6. Числовая последовательность, её предел. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Примеры. 7. Числовая последовательность, её предел. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Примеры. 8. Числовая последовательность, её предел. Теорема о сохранении знака последовательности, имеющей ненулевой предел. 9. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Теоремы о бесконечно малых последовательностях. 10. Теоремы о пределе суммы и произведения сходящихся последовательностей. Примеры. 11. Теорема о пределе частного сходящихся последовательностей. Примеры. 12. Предельный переход в неравенстве для двух последовательностей. Примеры. 13. Теорема о пределе промежуточной последовательности. Примеры. 14. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Примеры. 15. Свойство последовательности стягивающихся отрезков. 16. Число «е» как предел последовательности. 17. Подпоследовательности. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Примеры. 18. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходящейся последовательности. 19. Два определения функции в точке. Теорема об их эквивалентности (без доказательства). 20. Единственность предела функции в точке, локальная ограниченность функции, имеющей предел. Сохранение знака функцией, имеющей ненулевой предел. 21. Арифметические свойства пределов функций в точке, предельный переход в неравенствах. 22. Первый замечательный предел. 23. Второй замечательный предел (без доказательства). Следствия. Примеры. 24. Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва и их классификация через односторонние пределы. Примеры. 25. Векторы. Линейные операции над векторами. 26. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. 27. Базисы на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису. Ортонормированные базисы, их особенность. 28. Угол между векторами. Проекция на ось. Направляющие косинусы вектора. 29. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение. 30. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл. Условие коллинеарности двух векторов. 31. Смешанное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл. Условие компланарности трёх векторов. 32. Определители второго и третьего порядка. Запись векторного и смешанного произведений через определители. 33. Декартовы системы координат на плоскости и в пространстве. 34. Переход от одной системы координат к другой: перенос начала координат, поворот осей. 35. Полярная система координат. Цилиндрическая и сферическая системы координат. 36. Уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве, проходящий через данную точку, перпендикулярно данному вектору. 37. Общее уравнение первого порядка на плоскости и в пространстве. Его исследование 38. Прямая на плоскости. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. 39. Нормальное уравнение прямой. Основные задачи на прямую на плоскости. Плоскость в пространстве. Различные формулы уравнения плоскости (четыре вида). 40. Нормированное уравнение плоскости. Расстояние от точки до прямой. 41. Прямая в пространстве. Общее задание, каноническое и параметрическое уравнения. Переход от одного способа задания к другому. 42. Основные задачи на тему «Плоскость и прямая»: расстояние от точки до плоскости и прямой, углы между прямыми и плоскостями, проекции точки на плоскость и прямую. 43. Основные задачи на тему «Плоскость и прямая»: расстояние между скрещивающимися прямыми. Уравнение пучка прямых.