Решение задач «6 задач по теме динамика»,
теоретическая механика в Казани

Задача З Теорема о движении центра масс Механическая система состоит из грузов D1 массой m1 (кг) и D2 массой т2 (кг) и из прямоугольной вертикальной плиты массой m3 (кг), движущейся вдоль горизонтальных направляющих (рис. 1 – 0). В момент времени tо = 0, когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобам, представляющим собой окружности радиусов r = 0,4 м и R = 0,8 м. При движении грузов угол 1 = A1C1D1 изменяется по закону 1=f1(t), а угол 2 = A2C3D2 – по закону 2 = f2(t). В табл. 2 эти зависимости даны отдельно для рис. 1–5 и 6–0, где  выражено в радианах, t – в секундах. Считая грузы материальными точками и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить закон изменения со временем величины, указан¬ной в таблице в столбце «Найти», т. е. х3 = f3(t) и N = f(t). где х3 – координата центра С3 плиты (зависимость х3 = f3(t) определяет закон движения плиты), N – полная нормальная реакция направ¬ляющих. Задача 4 Теорема о изменении количества движения системы Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m1 , движущейся вдоль горизонтальных направ¬ляющих, и груза D массой т2 (рис.1 – 0, табл. 1). В момент времени to = 0, когда скорость плиты uо , груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты. На рис. 0–3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние s = AD изменяется по закону s = f1(t), а на рис. 4–9 желоб – окружность радиуса R = 0,8 м и при движении груза угол  = АС1D изменяется по закону  = f2(t), В табл. Д4 эти зависимости даны отдельно для рис. 0 и 1; для рис. 2 и 3 и т. д., где s выражено в метрах,  – в радианах, t – в секундах. Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивле-ниями, определить зависимость и = f(t), т. е. скорость плиты как функцию времени. Задача 5 Теорема об изменении кинетического момента системы. Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,4 м) массой m1 (кг) вращается по закону φ = ϯ (t) вокруг вер¬тикальной оси z, отстоящей от центра масс С платформы на рас¬стоянии ОС = b (рис. 1 – 0, табл. 2); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. 1а (вид сверху). В момент времени t0 = 0 по желобу платформы начинает двигать¬ся (под действием внутренних сил) груз D массой т2 (кг) по закону s = AD= F(t), где s выражено в метрах, t – в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с момен¬том М (задан в ньютонометрах; при М < 0 его направление противо¬положно показанному на рисунках). Определить, пренебрегая массой вала, угловую скорость платформы, в момент времени t = 2 с. На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s > 0 (когда s < 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном рас¬стоянии ОС = b от центра С. Задача 2 Колебания материальной точки Груз 1 массой т укреплен на пружинной подвеске в лифте (рис. 0 – 9, табл.1). Лифт движется вертикально по закону z = 0,51t2 + 2t2sin(t) + 3cos(t) (ось z направлена по вертикали вверх; z выражено в метрах, t – в секундах). На груз действует сила сопротивления среды R = , где  – скорость груза по отношению к лифту. Найти закон движения груза по отношению к лифту, т. е. х = f(t); начало координат поместить в точке, где находится прикрепленный к грузу конец пружины, когда пружина не деформирована. При этом во избежание ошибок в знаках направить ось х в сторону удлинения пружины, а груз изобразить в положении, при котором х > 0, т. е. пружина растянута. При подсчетах можно принять g = 10 м/с2. Мас¬сой пружин и соединительной планки 2 пренебречь. В таблице обозначено: с1, с2, с3 – коэффициенты жесткости пру¬жин, о – удлинение пружины с эквивалентной жесткостью в началь¬ный момент времени t = 0, 0 – начальная скорость груза по отноше¬нию к лифту (направлена вертикально вверх). Прочерк в столбцах с1, с2, с3 означает, что соответствующая пружина отсутствует и на чертеже изображаться не должна. Если при этом конец одной из оставшихся пружин окажется свободным, его следует прикрепить в соответствующем месте или к грузу или к потолку (полу) лифта; то же следует сделать, если свободными окажутся соединенные планкой 2 концы обеих оставшихся пружин Задача 6 Теорема о изменении кинетической энергии системы Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R3 ( м) и r3 (м), а так же радиусом инерции относительно оси вращения 3 (м), блока 4 радиуса R4 (м) и катка (или подвижного блока) 5 (рис. 0 –9, табл. № 1); тело 5 считать сплошным однородным цилиндром, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f. Тела системы соединены друг с дру¬гом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскост