Контрольная «1. Парадокс Бертрана. В круге радиуса R случайно проводится хорда»,
теория вероятностей и математическая статистика в Казани

1. Парадокс Бертрана. В круге радиуса R случайно проводится хорда. Обозначим через { ее длину. Найти вероятность Q% = Р(Е > «). Вычислить вероятности QR и Rv5 того, что длина хорды больше стороны правильноговписанного шестиугольника и треугольника соответственно. Дать подробное решение в каждом из следующих случаев: .1 Считать, что слово "случайно" означает, что середина хорды равномерно рас- пределена в круге. 2. Считать, что слово "случайно" означает, что направление хорды фиксировано, а середина равномерно распределена на диаметре окружности. 3. Считать, что слово "случайно" означает, что один из концов хорды закреплен, а другой равномерно распределен на окружности. В качестве ответа на каждый из пунктов принимается формула для Од, выражаю- щая искомую вероятность через R и параметр ,« а также два значения, вычисленные по этой формуле: при 2= R и при ?= Rv3. . Игла Бюффона. Иглу длиной 1 бросают на пол, разлинованный параллельными прямыми, находящимися на расстоянии 1друг от друга. Найти вероятность того, что игла пересечет одну из линий. Дать подробное решение. 3. Распределение порядковых с т а т и с т и к . Пусть Е1, . . . , Е - независимые случайные величины из одного и того же распределения. В предположении, что распределение каждой из Е - абсолютно непрерывно с функцией распределения F(x) и плотностью P(z), найдите распределение к-той порядковой статистики {() • Дать подробное решение. 4. 4. Используя результат предыдущей задачи, найти в зависимости от n интеграл .... где f(x1, ...,xn) равно второму по величине сверху из чисел x1....xn